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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 17

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

x d y d x - 2 y = x 3 + 1 ; y = 1   q u a n d o   x = 1

Passo 1

Verificamos se a equação diferencial é de primeira ordem em y   colocando-a na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Supondo x ≠ 0 , dividimos a equação por x :

d y d x - 2 x y = x 2 + 1 x

Agora a equação está do jeito que queríamos, com P x = - 2 x e Q x = x 2 + 1 x . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 2 x d x = - 2 ln ⁡ | x | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e - 2   l n ⁡ | x | = e ln ⁡ x - 2 = x - 2 = 1 x 2

Multiplicando a equação diferencial por 1 x 2 :

1 x 2   d y d x - 1 x 2   2 x   y = 1 x 2 x 2 + 1 x ⇒ 1 x 2 d y d x - 2 x 3 y = 1 + 1 x 3

Passo 3

Como d 1 x 2 d x = - 2 x 3 , temos:

1 x 2 d y d x + d 1 x 2 d x y = 1 + 1 x 3 ⇒ d y x 2 d x = 1 + 1 x 3

Agora integrando:

∫ d y x 2 = ∫ 1 + 1 x 3 d x ⇒ y x 2 = x - 1 2 x 2 + C ⇒ y = x 3 - 1 2 + C x 2

Passo 4

Pelo enunciado, y 1 = 1 . Então:

1 = 1 3 - 1 2 + C ⋅ 1 2 = 1 - 1 2 + C ⇒ C = 1 - 1 + 1 2 = 1 2

y = x 3 + x 2 2 - 1 2

Resposta

y = x 3 + x 2 2 - 1 2

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