Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

E supor uma solução do tipo:

O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

Agora vamos substituir na equação diferencial:

Dividindo essa equação por temos:

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:

Agora vamos determinar a solução particular?

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

Resgatando a equação diferencial integral temos:

Agora substituindo e na equação diferencial temos:

Reorganizando os termos temos:

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

Da primeira equação temos o valor de

E da segunda o valor de :

E a solução particular é:

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:

Substituindo os resultados teremos:

Beleza?

Vamos pra próxima?