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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 39

Expresse o número como uma razão de inteiros.

0,123 overset(-)(456)

Passo 1

Para transformar isso numa razão de inteiros, ou uma fração, vamos pegar a parte fixa e somar em uma série que vai representar a parte que se repete. Essa série é uma série geométrica, que nós sabemos como encontrar o valor pela fórmula

sum_(n = 0)^(oo) a r^n = (a)/(1 - r)

Passo 2

Para esse numero, a parte fixa é o 0,123 e o 456 se repete infinitamente, assim

0,123 overset(-)(456) = 0,123 + (456)/(1000 * 1000) + (456)/(1000 * 1000^2) + (456)/(1000 * 1000^3) + ...

O primeiro 1000 no denominador é para posicionar os valores no local correto, já que a repetição começa na quarta casa decimal, temos que pular 3.

0,123 overset(-)(456) = 0,123 + sum_(n = 1)^(oo) (456)/(1000) ((1)/(1000))^n

Ela inicia em 1 porque não temos um termo 0,456 , então a série não tá no formato de geométrica. Para resolver isso, vamos somar tirar um dos 1 // 1000 que vai fazer o expoente ficar n - 1 e a série será geométrica

0,123 overset(-)(456) = 0,123 + sum_(n = 1)^(oo) (456)/(1000) ((1)/(1000)) ((1)/(1000))^(n - 1)

0,123 overset(-)(456) = 0,123 + sum_(n = 1)^(oo) (456)/(1000^2) ((1)/(1000))^(n - 1)

Passo 3

Aplicando a fórmula

sum_(n = 1)^(oo) (456)/(1000^2) ((1)/(1000))^(n - 1) = (456 // 1000^2)/(1 - (1)/(1000)) = (456 // 1000^2)/(999 // 1000) = (456)/(999000)

Então

0,123 overset(-)(456) = 0,123 + (456)/(999000)

Colocando 0,123 na forma fracionária temos

0,123 overset(-)(456) = (123)/(1000) + (456)/(999000)

Fazendo o MMC

= (122877 + 456)/(999000) = (123333)/(999000)

Simplificando por 3 no numerador e denominador

= (41111)/(333000)

Resposta

0,123 overset(-)(456) = (41111)/(333000)

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