Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais.

r = sen(θ/2)

Passo 1

Opa!! Tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão de uma curva (dada em coordenadas polares):

r = sen ⁡ θ / 2

Queremos calcular o comprimento de um laço dessa curva com precisão de 4 casas decimais.

E, para isso, o enunciado nos pede para usarmos uma calculadora ou um software matemático.

Espera um pouco... Como assim laço??

Bom... se a gente plotar nossa curva, obteremos a seguinte figura:

Assim, queremos calcular o comprimento de um arco.

Para isso, o comprimento L é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2

Agora podemos aplicar!!! 😉

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de r .

Sabemos que:

r = sen ⁡ θ / 2

Derivando, temos:

d r d θ = d d θ sen ⁡ θ / 2

E aplicando a Regra da Cadeia:

d r d θ = 1 2 cos ⁡ θ / 2

Passo 3

Desta forma, como r = sen ⁡ θ / 2 e geramos essa figura para 0 ≤ θ ≤ 4 π :

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 ∴

L = ∫ 0 4 π sen ⁡ θ 2 2 + cos ⁡ θ 2 2 2 d θ

Resolvendo com o auxílio de uma calculadora, teremos:

L = 9 , 6884

Resposta

L = 9,6884

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