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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.2 - Ex. 20

Resolva a equação diferencial usando a ) coeficientes a serem determinados e b ) variação dos parâmetros.

20-

y ' ' - 3 y ' + 2 y = s e n   x

Passo 1

A solução da equação homogênea se dará pela equação auxiliar abaixo:

r 2 - 3 r + 2 = 0

Cujas raízes serão:

r 1 ; r 2 = 3 ± 3 2 - 4 × 2 2 = 3 2 ± 1 2 = 2 ; 1

Logo a solução homogênea com raízes reais e distintas será:

y h = c 1 e x + c 2 e 2 x

Passo 2

  1. O nosso chute para equação particular será com a cara:

    2. y p = A s e n   x + B c o s   x

    Fazendo a diferencial da particular nós teremos:

    y p ' = A c o s   x - B s e n   x

    y p ' ' = - A s e n   x - B cos ⁡ x

    Agora vamos aplicar essas diferenciais na equação dada no enunciado:

    - A s e n   x - B c o s   x - 3 A c o s   x - B s e n   x + 2 A s e n   x + B c o s   x = s e n   x

    Isolando os termos que tem seno dos que tem cosseno nós teremos:

    A + 3 B s e n   x + B - 3 A cos ⁡ x = s e n   x

    Comparando os dois lados temos:

    A + 3 B = 1

    B - 3 A = 0 → B = 3 A

    Então:

    A + 9 A = 1 → A = 1 10

    B = 3 10

    Então a equação que nos dará a solução dessa EDO é:

    y = y p + y h = c 1 e x + c 2 e 2 x + 1 10 s e n   x + 3 10 cos ⁡ x

    Passo 3

  2. Agora fazendo pela variação dos parâmetros teremos que a equação particular terá a cara de:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde y 1 = e x e y 2 = e 2 x

O que nos dará um sistema igual a:

u 1 ' e x + u 2 ' e 2 x = 0

u 1 ' e x + 2 u 2 ' e 2 x = s e n   x

Diminuindo a segunda equação da primeira temos:

u 2 ' e 2 x = s e n   x

u 2 ' = s e n   x e 2 x

Isso nos dá um valor de u 1 ' igual a:

u 1 ' = - s e n   x e x

Fazendo integração por partes nós encontraríamos:

u 2 = - 2 5 e - 2 x sin ⁡ x - 1 5 e - 2 x cos ⁡ x

u 1 = 1 2 e - x sin ⁡ x + 1 2 e - x cos ⁡ x

Logo a equação da solução particular será:

y p = 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x - 2 5 sin ⁡ x - 1 5 cos ⁡ x = 1 10 sin ⁡ x + 3 10 cos ⁡ x  

O que nos dá a mesma solução geral para a EDO:

y = y h + y p = c 1 e x + c 2 e 2 x + 1 10 s e n   x + 3 10 cos ⁡ x

Resposta

y = c 1 e x + c 2 e 2 x + 1 10 s e n   x + 3 10 cos ⁡ x

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