Enunciado

10. Sabe-se que y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3 é uma família a dois parâmetros de soluções para x 2 y ' ' - 5 x y ' + 8 y = 24 no intervalo - ∞ ,   ∞ . Encontre, se existir, um membro dessa família que satisfaça as condições:

a) y - 1 = 0 ,   y 1 = 4

b) y 0 = 1 ,   y 1 = 2

c) y 0 = 3 ,   y 1 = 0

d) y 1 = 3 ,   y 2 = 15

Passo 1

Então galera, a solução que nos foi dada é essa:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

Além de que:

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 8 y = 24

Se derivarmos nossa solução, teremos:

y ' = 2 c 1 x + 4 c 2 x 3 + 3

Show! Agora que encontramos y ' vamos aplicar as condições da questão!

Passo 2

a) Aplicando as condições iniciais y - 1 = 0 ,   y 1 = 4 , teremos:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

0 = c 1 + c 2 + 3

c 1 + c 2 = - 3

Agora aplicando a segunda, teremos:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

4 = c 1 + c 2 + 3

c 1 + c 2 = 1

Que é um resultado impossível, galera! Como um número é dois ao mesmo tempo? Não tem como! Sendo assim não temos solução para a condição dada.

Passo 3

b) Aplicando as condições iniciais y 0 = 1 ,   y 1 = 2 , teremos:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

1 = 3

E já podemos parar por aqui, já que é um resultado completamente IMPOSSÍVEL! Sendo assim não temos solução para a condição dada.

Passo 4

c) Aplicando as condições iniciais y 0 = 3 ,   y 1 = 0 , teremos:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

3 = 3

O que nos diz que c 1 é arbitrário. Agora aplicando a segunda condição:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

0 = c 1 + c 2 + 3

c 1 + c 2 = - 3

O que nos dá como solução:

y = c 1 x 2 + - 3 - c 1 x 4 + 3

Passo 5

d) Aplicando as condições iniciais y 1 = 3 ,   y 2 = 15 , teremos:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

3 = c 1 + c 2 + 3

c 1 = - c 2

Agora aplicando a segunda condição:

y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3

15 = 4 c 1 + 16 c 2 + 3

12 = 4 c 1 + 4 c 2

3 = c 1 + 4 c 2

Substituindo, teremos:

3 = 3 c 2

c 2 = 1

O que nos dá c 1 = - 1 . Logo, nossa solução será:

y = - x 2 + x 4 + 3

Resposta

a) Não há solução.

b) Não há solução.

c) y = c 1 x 2 + - 3 - c 1 x 4 + 3

d) y = - x 2 + x 4 + 3

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