Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 39
Calcule , onde está acima do parabolóide e abaixo do plano .
Passo 1
Oi, galera! Tudo bem?
O paraboloide pode ser descrito assim, ó:
E o plano:
Então a variável está entre:
Aqui vou usar coordenadas cilíndricas. Sendo assim devemos determinar os limites de .
A correspondência entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é:
Assim podemos achar os limites de integração para calcularmos:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos ver agora a intersecção entre as curvas.
Então temos:
que é um círculo de raio e centro . E a região de integração desse círculo é de
Agora só falta ! Bom, a variável varia entre até esse círculo, pois é a única curva no plano . Então:
Beleza!
Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: .
Agora é só colocar na integral de volume!
Passo 3
Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:
Integrando primeiro pela variável “de dentro”
Aplicando os limites de integração de :
Integrando agora em , tratando como constante:
Aplicando os limites pra e fazendo a integração em temos (a última parte foi usado uma calculadora de integrais):
Beleza! É esse o volume pedido!