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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' + 9 y = 9 sec 2 ⁡ 3 t   ,         0 < t < π / 6

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + 9 y = 9 sec 2 ⁡ 3 t

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por (de acordo com a equação 27 da página 189):

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t + c 1

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t + c 2

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' + 9 y = 9 sec 2 ⁡ 3 t

Pode ser reescrita como:

λ 2 + 9 = 0

Onde:

λ = ± 3 i

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = cos ⁡ 3 t e y 2 t = sen ⁡ 3 t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= 3 cos 2 ⁡ 3 t + sen 2 ⁡ 3 t = 3

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = 9 sec 2 ⁡ 3 t   .

u 1 t = - ∫ sen ⁡ 3 t 9 sec 2 ⁡ 3 t 3 d t + c 1 = - sec ⁡ 3 t + c 1

E u 2 por:

u 2 t = ∫ cos ⁡ 3 t 9 sec 2 ⁡ 3 t 3 d t + c 2 = ln ⁡ ( tan ⁡ 3 t + sec ⁡ 3 t ) + c 2

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = cos ⁡ 3 t u 1 t + sen ⁡ 3 t   u 2 ( t )

y t = - sec ⁡ 3 t + c 1 cos ⁡ 3 t + ln ⁡ ( tan ⁡ 3 t + sec ⁡ 3 t ) + c 2 sen ⁡ 3 t

Y t = cos ⁡ 3 t   ( - ln ⁡ ( tan ⁡ 3 t + sec ⁡ 3 t ) + sen ⁡ 3 t ) - sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t

= - cos ⁡ ( 3 t ) s e c 3 t + c 1 c o s 3 t + s e n 3 t ln ⁡ t g 3 t + sec ⁡ 3 t + c 2 s e n ( 3 t )

A solução geral considerando a parte homogênea e particular:

y t = - cos ⁡ ( 3 t ) s e c 3 t + c 1 c o s 3 t + s e n 3 t ln ⁡ t g 3 t + sec ⁡ 3 t + c 2 s e n ( 3 t )

Resposta

y t = - cos ⁡ ( 3 t ) s e c 3 t + c 1 c o s 3 t + s e n 3 t ln ⁡ t g 3 t + sec ⁡ 3 t + c 2 s e n ( 3 t )

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