Resolva a equação diferencial.

10.3y'' + 4y' - 3y = 0

Passo 1

Bom, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada, mas para isso, precisamos antes usar uma solução que satisfaça essa equação, e através dela, a gente encontra a geral. Essa solução é do tipo:

y = e r x

Com derivadas:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos encontrar agora o valor de r .

Passo 2

Para isso, vamos substituir o que calculamos na equação do enunciado:

3 r 2 e r x + 4 r e r x - 3 e r x = 0

Dividimos tudo por 3 e r x , para encontrarmos o polinômio característico:

r 2 + 4 3 r - 1 = 0

Calculando as raizes dele por Bhaskara, podemos encontrar os valores de r :

r = - 4 3 ± 16 9 + 4 2 = - 4 3 ± 52 9 2 = - 4 6 ± 52 36

r = - 2 3 ± 13 9 = - 2 ± 13 3

Passo 3

Como a solução tem duas raízes reais e distintas, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo os r :

y = c 1 e 13 - 2 3 x + c 2 e - 2 + 13 3 x

E essa será nossa solução geral.

Resposta

y = c 1 e 13 - 2 3 x + c 2 e - 2 + 13 3 x

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