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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 18

Resolva o problema de condição inicial.

18. y^(' ') - 2 y^' - 3 y = 0 , y (0) = 2 , y^' (0) = 2

Passo 1

Vamos tomar uma solução que satisfaz a equação que o enunciado deu:

y = e^(r x)

As derivadas dessa solução são:

y^' = r e^(r x)

y ' ' = r^2 e^(r x)

Precisamos então determinar r de tal maneira que a igualdade continue valendo, assim podemos obter uma solução geral e então usamos as condições iniciais dadas para encontrarmos as constantes da solução.

Passo 2

Para encontrarmos r , substituímos a solução do passo anterior na equação diferencial:

r^2 e^(r x) - 2 r e^(r x) - 3 e^(r x) = 0

Dividindo tudo por e^(r x) :

r^2 - 2 r - 3 = 0

Reescrevendo o polinômio:

(r - 3) (r + 1) = 0

E as raízes serão r = 3 e r = - 1

Passo 3

Por termos duas raízes reais e distintas, a solução será a combinação linear de cada uma das raízes na solução do passo 1:

y = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Com as nossas raízes fica:

y = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(- x)

Passo 4

Substituindo uma das condições iniciais:

y (0) = 2

y (0) = c_1 e^0 + c_2 e^0 = 2

c_1 + c_2 = 2

A outra condição é:

y^' (0) = 2

Precisamos da derivada da nossa solução:

y^' = 3 c_1 e^(3 x) - c_2 e^-^x

Aplicando a condição inicial:

y^' (0) 3 c_1 e^0 - c_2 e^0 = 2

3 c_1 - c_2 = 2

Vamos então ter o seguinte sistema:

{[[c_1 + c_2 = 2],[3 c_1 - c_2 = 2]])

Somando a segunda equação pela primeira:

4 c_1 = 4

Então

c_1 = 1

Logo,

c_2 = 1

E a solução que procuramos é:

y = e^(3 x) + e^(- x)

Resposta

y = e^(3 x) + e^(- x)

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