Resolva o problema de condição inicial.

18.y'' - 2y' - 3y = 0 , y(0) = 2 , y'(0) = 2

Passo 1

Vamos tomar uma solução que satisfaz a equação que o enunciado deu:

y = e r x

As derivadas dessa solução são:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos então determinar r de tal maneira que a igualdade continue valendo, assim podemos obter uma solução geral e então usamos as condições iniciais dadas para encontrarmos as constantes da solução.

Passo 2

Para encontrarmos r , substituímos a solução do passo anterior na equação diferencial:

r 2 e r x - 2 r e r x - 3 e r x = 0

Dividindo tudo por e r x :

r 2 - 2 r - 3 = 0

Reescrevendo o polinômio:

r - 3 r + 1 = 0

E as raízes serão   r = 3 e r = - 1

Passo 3

Por termos duas raízes reais e distintas, a solução será a combinação linear de cada uma das raízes na solução do passo 1:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Com as nossas raízes fica:

y = c 1 e 3 x + c 2 e - x

Passo 4

Substituindo uma das condições iniciais:

y 0 = 2

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 2

c 1 + c 2 = 2

A outra condição é:

y ' 0 = 2

Precisamos da derivada da nossa solução:

y ' = 3 c 1 e 3 x - c 2 e - x

Aplicando a condição inicial:

y ' 0 3 c 1 e 0 - c 2 e 0 = 2

3 c 1 - c 2 = 2

Vamos então ter o seguinte sistema:

c 1 + c 2 = 2 3 c 1 - c 2 = 2

Somando a segunda equação pela primeira:

4 c 1 = 4

Então

c 1 = 1

Logo,

c 2 = 1

E a solução que procuramos é:

y = e 3 x + e - x

Resposta

y = e 3 x + e - x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados