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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 32

Faça com que H seja um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do seu centro da base.

  1. Encontre a massa de H .
  2. Encontre o centro de massa de H .
  3. Encontre o momento de inércia de H em torno de seu eixo.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

A questão quer que a gente ache sobre a região H , que é um hemisfério (metade de esfera) sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do seu centro da base:

  1. A primeira parte pede a massa do sólido H . A massa de um sólido nós podemos calcular por:

    2. m = ∫ ∫ ∫ ρ d V

    Então para resolvermos nossa primeira parte, precisamos achar a função ρ e os limites de integração da região H Em coordenadas esféricas.

  2. O centro de massa pode ser obtido por:

    3. x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

    Usando as integrais:

    M y z = ∭ E x   ρ   d V

    M x z = ∭ E y   ρ   d V

    M x y = ∭ E z   ρ   d V

    Então vamos precisar calcular nossa integral com os dados que vamos ter encontrado na parte a).

  3. Momento de inércia em torno do seu eixo. Como o eixo do nosso sólido é o eixo z , temos: I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 ρ d V

Então, é só calcularmos nossas integrais.

Vamos lá!

Passo 2

  1. Encontre a massa de H .

    2. Vamos começar definindo nossa função densidade ρ :

    Como temos um hemisfério solido com densidade proporcional à distância do seu centro de base, vamos posicionar esse centro na origem, para que a função densidade seja:

    ρ = K x 2 + y 2 + z 2

    Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

    x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ

      y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ

    z = ρ cos ⁡ ϕ

      x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

    Substituindo essas relações na equação da densidade, obtemos:

    ρ ( x , y , z ) = K ρ

    Dessa forma, a massa será dada pela integral:

    m = ∫ ∫ ∫ ρ d V

    Como K é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficando com:

    m = K ∫ ∫ ∫ ρ d V

    Passo 3

    Agora que já temos a função densidade, vamos definir os limites de integração pra nossa região, que vão valer para todas as demais integrais:

    Como temos um hemisfério com raio a , então as restrições sobre a posição dele são

    0 ≤ ρ ≤ a

    Como temos só metade da esfera, temos:

    0 ≤ ϕ ≤ π 2

    e

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Com isso, podemos reescrever a integral para a massa já com os limites de integração:

    m = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ( ρ ) ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 3 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    Iremos separar as integrais de acordo com as suas variáveis:

    m = K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ   d ϕ ∫ 0 a ρ 3 d ρ

    E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

    m = K θ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π / 2 1 4 ρ 4 0 a

    Aplicando os limites de integração:

    m = K 2 π - 0 - 0 - - 1 1 4 a 4 - 1 4 0 4

    Nossa massa será:

    m = 1 2 K π a 4

    Passo 4

  2. Encontre o centro de massa de H .

    3. Antes de começar a resolver o problema, devemos notar a simetria do sólido com relação aos eixos x e y , dessa forma, temos:

    M y z = M x z = 0

    Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo z do sólido, para isso, fazemos:

    M x y = ∫ ∫ ∫ E   z ρ d V

    Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas no passo 1, podemos reescrever a integral como:

    M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ( ρ ) ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    Multiplicando e rearranjando os termos:

    = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ 4 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:

    K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 a ρ 4 d ρ

    Passo 5

    Vamos fazer a integral de ϕ separadamente, já que vamos precisar usar uma substituição:

    Sabemos que as integrais com formato:

    ∫ s e n   ϕ   c o s ⁡ ϕ

    São resolvidas por substituição, fazendo

    u = s e n   θ

    Derivando u :

    d u = c o s θ

    e a integral se torna:

    ∫ u x d u = u x + 1 x + 1 = s e n x θ x + 1

    Nesse caso, temos x = 1 , então, resolvendo a integral, temos:

    ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 1 2 s e n 2 ϕ 0 π / 2

    E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

    m = K θ 0 2 π 1 2 s e n 2 ϕ 0 π / 2 1 5 ρ 5 0 a

    Aplicando os limites de integração:

    M x y = K 2 π - 0 1 2 1 2 - 1 2 ( 0 ) 1 5 a 5 - 1 5 0 5

    Calculando nosso valor:

    M x y = 1 5 K π a 5

    Dessa forma, o centróide é dado por:

    x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

    Substituindo os valores que achamos:

    M y z m , M x z m , M x y m = 0 1 2 K π a 4 , 0 1 2 K π a 4 , 1 5 K π a 5 1 2 K π a 4  

    Temos por fim:

    x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 5

    Passo 6

  3. Encontre o momento de inércia de H em torno de seu eixo.

Nós sabemos que o momento de inércia ao redor do eixo z será dado por:

I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 ρ d V

Substituindo as relações de transformação do passo 1 e aplicando os intervalos de integração vistos no exemplo 4, temos:

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ s e n   ϕ   s e n   θ 2 ( ρ ) ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Rearranjando os termos:

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ ρ 3 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Da relação fundamental da trigonometria, temos s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , e podemos simplificar a integral para:

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 5 s e n 3   ϕ d ρ d ϕ d θ

Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:

K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ d ϕ ∫ 0 a ρ 5 d ρ

Da relação fundamental da trigonometria, temos s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x , e podemos simplificar a integral para:

K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 1 - cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ ∫ 0 a ρ 5 d ρ

K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2   s e n   ϕ - cos 2 ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ ∫ 0 a ρ 5 d ρ

Passo 3

Vamos fazer a integral de ϕ separadamente, já que vamos precisar usar uma substituição:

Sabemos que as integrais com formato:

∫ s e n   ϕ   c o s ⁡ ϕ

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

Nesse caso, temos x = 2 , então, resolvendo a integral, temos:

∫ 0 π / 2   - cos 2 ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ = 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2

E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

I z = K θ 0 2 π - cos ⁡ ϕ + 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2 1 6 ρ 6 0 a

Aplicando os limites:

I z = K 2 π - 0 - 0 + 1 3 ( 0 ) - - 1 + 1 3 1 3 1 6 a 6 - 1 6 0 6

Finalmente, temos:

I z = 2 9 K π a 6

Resposta

m = 1 2 K π a 4

x - , y - , z - = 0,0 , 2 a 5

I z = 2 9 K π a 6

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Use coordenadas esféricas.
Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .
Análise de um hemisfério sólido homogêneo de raio a .
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 1 ≤ ρ ≤ 2 ,0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2