Resolva a equação diferencial.

1. y'' - y' - 6y = 0

Passo 1

Como a equação diferencial dada é do tipo:

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

Ou seja, as funções P, Q e R que multiplicam y e suas derivadas são constantes, a solução será do tipo:

y = e^(r x)

E precisamos encontrar o valor de r .

Passo 2

Substituindo a solução e suas derivadas:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Na equação diferencial:

r^2 e^(r x) - r e^(r x) - 6 e^(r x) = 0

Ficamos com o seguinte polinômio:

r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Reescrevendo o polinômio teremos:

(r - 3) (r + 2) = 0

E as raízes serão r = 3 e r = - 2

Passo 4

Teremos duas soluções, (para r = 3 ) :

y = c_1 e^(3 x)

Para r = - 2 :

y = c_2 e^(- 2 x)

E a combinação linear delas será a solução geral:

y = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(- 2 x)

Resposta

y = c_1 e^(3 x) + c_2 e^(- 2 x)

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