Resolva a equação diferencial.

2. y'' - 6y' + 9y = 0

Passo 1

A equação diferencial dada possui apenas constantes multiplicando cada termo de y , uma solução dela será:

y = e^(r x)

E suas derivadas serão:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Precisamos encontrar r para podermos escrever a solução geral.

Passo 2

Substituindo na equação diferencial:

r^2 e^(r x) - 6 r e^(r x) + 9 e^(r x) = 0

Dividindo por e^(r x) , ficamos com o polinômio de r :

r^2 - 6 r + 9 = 0

Reescrevendo esse polinômio:

(r - 3)^2 = 0

A raiz será dupla em r = 3 .

Passo 3

Como temos apenas uma raiz, a solução geral será a seguinte combinação linear:

y = c_1 e^(3 x) + c_2 x e^(3 x)

Resposta

y = c_1 e^(3 x) + c_2 x e^(3 x)

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