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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 6

Resolva a equação diferencial.

6. 9 y^(' ') + y = 0

Passo 1

A equação diferencial dada no enunciado só tem constantes multiplicando os termos de y e suas derivadas, então podemos dizer que uma solução da equação é:

y = e^(r x)

E as derivadas dessa solução serão:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Passo 2

Substituindo esses valores na equação fica:

9 r^2 e^(r x) + e^(r x) = 0

Dividindo os dois lados por 9 e^(r x) :

r^2 + (1)/(9) = 0

Resolvendo:

r = sqrt(- (1)/(9))

r = +- (i)/(3)

O que significa que as raízes são complexas ( r = alpha +- i beta ) .

Passo 3

Como elas são complexas nossa solução geral será do tipo:

y = e^(alpha x) ( c_1 c o s beta x + c_2 s e n beta x )

Com alpha = 0 e beta = (1)/(3) , a solução geral é:

y = c_1 cos ((1)/(3) x) + c_2 s e n ((1)/(3) x)

Resposta

y = c_1 cos ((1)/(3) x) + c_2 s e n ((1)/(3) x)

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