Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 56
Resolva em e escreva a resposta com a notação de valor absoluto
Passo 1
Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é verdadeira. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:
- Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
- Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
- Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
- Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!
Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é sem stress ;)
Vamos passar todo mundo pro lado esquerdo:
Tirando o MMC:
Simplificando:
Agora dividindo tudo por ficamos com a equação do jeitinho que a gente quer:
Agora ficou moleza, né? Só encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do numerador e montar a nossa tabelinha de análise de sinal.
Passo 2
Nossas raízes serão, em ordem crescente:
Passo 3
Com as raízes, podemos definir os intervalos que analisaremos na tabela. Como o nosso intervalo não inclui o , não precisamos analisar o valor do polinômio nas raízes em si. Daí ficamos com os intervalos:
Passo 4
Botando o que temos na nossa tabela de sinal:
Agora é só correr pro abraço!
Passo 5
Juntando os intervalos que satisfazem a nossa condição ficamos com o nosso conjunto solução:
Porém essa ainda não é a resposta, precisamos representar esse intervalo em termos de valor absoluto.
Passo 6
Na reta numérica, o nosso intervalo fica:
Agora ficou fácil né? Como o nosso intervalo está centrado no , ficaremos com e como a largura do nosso intervalo é de pra cada lado do centro do nosso intervalo, ficamos com:
E prontinho!