Resolva a inequação

h) 3x^2 - x <= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x 1 e x 2 são:

x 1 = - b + Δ 2 a ; e   x 2 = - b - Δ 2 a .

Como para esse polinômio a = 3 , b = - 1 e c = 0 o valor de Δ é:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1 2 - 4.3 . 0 = 1

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x 1 = - - 1 + 1 2.3 = 1 + 1 6 = 1 3

x 2 = - - 1 - 1 2.3 = 1 - 1 6 = 0

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = 0 e x = 1 / 3 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio 3 x 2 - x troca de sinal em x = 0 e em x = 1 / 3 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = 0 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = - 1 temos: 3 ( - 1 ) 2 - 1 . ( - 1 ) > 0

    Testando para valores maiores (mas menores do que 1 / 3 ), por exemplo x = 1 / 6 temos: 3 . ( 1 / 6 ) 2 - 1 . 1 6 = 3 36 - 1 6 = 1 12 - 1 6 < 0

  • Para x = 1 / 3 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 1 / 6 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 1 temos: 3.1 2 - 1.1 > 0

Resumindo temos: antes de x = 0 positivo, entre 0 e 1 / 3 negativo e depois de 1 / 3 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores negativos (incluindo o zero!!) então o intervalo de interesse é entre x = 0 e x = 1 / 3 e em ambos lados abertos:

0 ≤ x ≤ 1 / 3

Beleza?

Resposta

0 ≤ x ≤ 1 / 3

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