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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 8

Resolva o Problema 7 se 100 gramas de A estão presentes inicialmente. Quando temos a metade do composto C formada?

Passo 1

Então galera, do problema 7 temos a seguinte equação diferencial:

d X d t = A - 2 X 3 150 - X 3

Para A = 100 g , teremos:

d X d t = 100 - 2 X 3 50 - X 3

Simplificando, teremos:

d X d t = k 150 - X 2

E essa é a nossa equação diferencial! Agora que determinarmos a equação diferencial precisamos resolve-la para termos uma expressão para X t , ok? Então vamo que vamo!

Passo 2

Isolando as variáveis, teremos:

d X 150 - X 2 = k d t

Integrando ambos os lados, teremos:

∫ d X 150 - X 2 = k ∫ d t

Para a integral da esquerda podemos fazer uma substituição simples, saca só:

u = 150 - X

d u = - d X

Substituindo:

- ∫ d u u = - ln ⁡ u + c 1 = - ln ⁡ 150 - X + c 1

E para o lado direito teremos:

k ∫ d t = k t + c 2

Juntando os resultados:

- ln ⁡ 150 - X + c 1 = k t + c 2

- ln ⁡ 150 - X = k t + c

X - 150 = c e - k t

∴ X t = 150 - c 150 e k t

Passo 3

Agora que encontramos a expressão geral, precisamos encontrar c , certo? Utilizando a condição X 0 = 0 , teremos:

0 = c + 150

∴ c = 150

Então:

∴ X t = 150 - 150 150 e k t

E agora utilizando a condição X 5 = 10 , teremos:

10 = 150 - 150 150 e 5 k

∴ k = 0,000095238

Então nossa expressão final será:

X t = 150 - 150 150 e 0,000095238 t

Passo 4

Para t = 20 , teremos:

X 20 = 33,3 g

Para t → ∞ temos que:

X → 150

Para esse valor de X , temos que A e B serão:

A = 100 - 100 = 0

B = 150 - 150 = 0

E temos X t = 75 quando:

75 = 150 - 150 150 e 0,000095238 t

1 2 = 1 150 e 0,000095238 t

∴ t = 70   m i n u t o s

E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

X t = 150 - 150 150 e 0,000095238 t

X 20 ≅ 33,3 g

Para t → ∞ , temos que: X → 150

E para X → 60 , temos que A = 0 e B = 0

Para X t = 75 , temos que: t = 70   m i n u t o s

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