Uma família de curvas pode ser auto-ortogonal uma vez que um membro das trajetórias ortogonais é também um membro da família original. Nos problemas 39 e 40, mostre que a família de curvas é auto-ortogonal.

conicas = (x^2 / (c1 + 1)) + (y^2 / c1) = 1

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

x 2 c 1 + 1 + y 2 c 1 = 1   ( I )

Usando a regra da cadeia:

1 c 1 + 1 2 x + 1 c 1 2 y d y d x = 0

2 y c 1 d y d x = - 2 x c 1 + 1

d y d x = c 1 . 2 x 2 y . ( c 1 + 1 )

d y d x = c 1 . x y . ( c 1 + 1 )     ( I I )

Temos

c 1 = - y d y d x x + y d y d x

Então

d y d x = x + y d y d x x d y d x - y     ( I I I )

Passo 2

Cara, dá uma olhada na equação ( I I I )

Se substituirmos d y d x por - 1 d y d x , o resultado permanece o mesmo

Então, a auto ortogonalidade está provadíssima :D

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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