Resolva o problema de condição inicial.

19.9y'' + 12y' + 4y = 0 , y(0) = 1 , y'(0) = 0

Passo 1

Para encontrarmos uma solução que satisfaça a equação diferencial dada pelo enunciado, precisamos usar uma solução do tipo:

y = e r x

Com derivadas:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

E procurar um r de maneira que satisfaça a igualdade da equação diferencial.

Passo 2

Para encontrarmos ele, vamos substituir a solução e suas derivadas na equação:

9 r 2 e r x + 12 r e r x + 4 e r x = 0

Dividimos então tudo por 9 e r x e teremos o polinômio característico:

r 2 + 4 3 r + 4 9 = 0

Reescrevendo esse polinômio:

r + 2 3 2 = r + 2 3 r + 2 3 = 0

Podemos ver que temos raízes duplas para r = - 2 3

Passo 3

Por causa disso, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo r , ficamos com:

y = c 1 e - 2 3 x + c 2 x e - 2 3 x

Aplicando a primeira condição inicial dada no enunciado para encontrarmos as constantes c 1 e c 2 :

Passo 4

Aplicando a primeira condição inicial dada no enunciado para encontrarmos as constantes c 1 e c 2 :

y 0 = 1

Teremos:

y 0 = c 1 e 0 = 1

c 1 = 1

A segunda condição é:

y ' 0 = 0

Para usar ela, precisamos derivar a nossa solução:

y ' = - 2 3 c 1 e - 2 3 x - 2 3 c 2 x e - 2 3 x + c 2 e - 2 3 x

Agora podemos aplicar:

y ' 0 = - 2 3 c 1 e 0 + c 2 e 0 = 0

Como temos c 1 :

y ' 0 = - 2 3 + c 2 = 0

c 2 = 2 3

Pronto, podemos substituir essas constantes na solução geral, e a gente vai ter a solução que estávamos procurando:

y = e - 2 3 x + 2 3 x e - 2 3 x

Resposta

y = e - 2 3 x + 2 3 x e - 2 3 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados