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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 19

Resolva o problema de condição inicial.

19. 9 y^(' ') + 12 y^' + 4 y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = 0

Passo 1

Para encontrarmos uma solução que satisfaça a equação diferencial dada pelo enunciado, precisamos usar uma solução do tipo:

y = e^(r x)

Com derivadas:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

E procurar um r de maneira que satisfaça a igualdade da equação diferencial.

Passo 2

Para encontrarmos ele, vamos substituir a solução e suas derivadas na equação:

9 r^2 e^(r x) + 12 r e^(r x) + 4 e^(r x) = 0

Dividimos então tudo por 9 e^(r x) e teremos o polinômio característico:

r^2 + (4)/(3) r + (4)/(9) = 0

Reescrevendo esse polinômio:

(r + (2)/(3))^2 = (r + (2)/(3)) (r + (2)/(3)) = 0

Podemos ver que temos raízes duplas para r = - (2)/(3)

Passo 3

Por causa disso, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = c_1 e^(r x) + c_2 x e^(r x)

Substituindo r , ficamos com:

y = c_1 e^(- (2)/(3) x) + c_2 x e^(- (2)/(3) x)

Aplicando a primeira condição inicial dada no enunciado para encontrarmos as constantes c_1 e c_2 :

Passo 4

Aplicando a primeira condição inicial dada no enunciado para encontrarmos as constantes c_1 e c_2 :

y (0) = 1

Teremos:

y (0) = c_1 e^0 = 1

c_1 = 1

A segunda condição é:

y^' (0) = 0

Para usar ela, precisamos derivar a nossa solução:

y^' = - (2)/(3) c_1 e^(- (2)/(3) x) - (2)/(3) c_2 x e^(- (2)/(3) x) + c_2 e^(- (2)/(3) x)

Agora podemos aplicar:

y^' (0) = - (2)/(3) c_1 e^0 + c_2 e^0 = 0

Como temos c_1 :

y^' (0) = - (2)/(3) + c_2 = 0

c_2 = (2)/(3)

Pronto, podemos substituir essas constantes na solução geral, e a gente vai ter a solução que estávamos procurando:

y = e^(- (2)/(3) x) + (2)/(3) x e^(- (2)/(3) x)

Resposta

y = e^(- (2)/(3) x) + (2)/(3) x e^(- (2)/(3) x)

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