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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 29

Resolva a equação diferencial.

y^(' ') - 6 y^' + 25 y = 0 , y (0) = 1 , y (pi) = 2

Passo 1

A equação diferencial que temos que resolver é a seguinte:

y^(' ') - 6 y^' + 25 y = 0

Então a nossa equação característica fica:

r^2 - 6 r + 25 = 0

Resolvendo, temos:

r = (6 +- sqrt((- 6)^2 - 4 * 1 * 25))/(2 * 1)

Assim,

r = (6 +- sqrt(- 64))/(2)

Logo,

r = 3 +- 4 i

Passo 2

Como temos duas soluções não reais, a solução da equação fica da seguinte forma:

y (x) = e^(alpha x) (C_1 c o s (beta x) + C_2 s e n (beta x))

Onde alpha é a parte real e beta a parte imaginária. No nosso problema alpha = 3 e beta = 4 . Assim,

y (x) = e^(3 x) (C_1 c o s (4 x) + C_2 s e n (4 x))

Onde C_1 e C_2 são constantes.

Passo 3

Agora vamos usar as condições do enunciado para y (0) e y ( pi ) .

Para y (0) = 1 :

e^0 ( C_1 cos (0) + C_2 s e n ( 0 ) ) = 1

Fazendo as contas:

C_1 = 1

Para y (pi) = 2 :

e^(3 pi) (C_1 c o s (4 pi) + C_2 s e n (4 pi)) = 2

e^(3 pi) (C_1 + 0) = 2

Logo,

C_1 = (2)/(e^(3 pi))

Como encontramos C_1 = 1 e C_1 = (2)/(e^(3 pi)) podemos concluir que o problema não possui solução.

Resposta

Não há solução.

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