Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

32. a_n = cos(n * pi / (n + 1))

Passo 1

Precisamos encontrar o limite da sequência para poder dizer se ela diverge ou converge, se o limite tender para infinito irá divergir, e se tender para um número L , ela converge. Vamos aplicar então o limite na sequência dada:

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n π n + 1

Passo 2

E para resolver esse limite, vamos colocar em evidenciar o maior grau de n no denominador que está dentro da função cosseno (que nesse caso é n mesmo):

L = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n π n 1 + 1 n

Simplificando n :

L = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ π 1 + 1 n

Passo 3

Quando aplicamos n → ∞ , o termo 1 n irá tender para zero, e no final ficamos com:

L = cos ⁡ π 1 = c o s π

L = - 1

Podemos então dizer que a sequência converge para L = - 1 .

Resposta

L = - 1

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