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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 30

Resolva a equação diferencial.

y^(' ') - 6 y^' + 9 y = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 0

Passo 1

A equação diferencial que temos que resolver é a seguinte:

y^(' ') - 6 y^' + 9 y = 0

Então a nossa equação característica fica:

r^2 - 6 r + 9 = 0

Resolvendo, temos:

r = (6 +- sqrt((- 6)^2 - 4 * 1 * 9))/(2 * 1)

Assim,

r = (6 +- 0)/(2) = 3

Passo 2

Como temos apenas uma raiz real, a solução fica da seguinte forma:

y (x) = C_1 e^(r x) + C_2 x e^(r x)

Onde r é o valor da raiz e C_1 e C_2 são constantes. Aplicando ao nosso caso:

y (x) = C_1 e^(3 x) + C_2 x e^(3 x)

Passo 3

Agora vamos usar as condições do enunciado para y (0) e y ( 1 ) .

Para y (0) = 1 :

C_1 e^0 + C_2 * 0 * e^0 = 1

logo,

C_1 = 1

Agora vamos ver para y (1) = 0 :

C_1 e^3 + C_2 * 1 * e^3 = 0

Como C_1 = 1 :

C_2 = (0 - e^3)/(e^3) = - 1

Portanto, o y ( x ) fica o seguinte:

y (x) = e^(3 x) - x e^(3 x)

Resposta

y (x) = e^(3 x) - x e^(3 x)

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