Resolva o problema de contorno, se possível.

y'' + 4y' + 29y = 0 y(0) = 1, y(pi) = -e^(-2pi)

Passo 1

Primeiramente solucionamos a equação característica que nós da r 2 + 4 r + 29 = 0

Dando r 1 = - 2 + 5 i   e   r 2 = - 2 - 5 i onde i 2 = - 1 .

A solução geral ficará y ( x ) = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 e ( - 2 + 5 i ) x   + c 2 e ( - 2 - 5 i ) x  

y x = e - 2 x ( c 1 e 5 i x + c 2 e - 5 i x )

Utilizando a identidade de Euler( e i x = cos ⁡ x + i s e n ( x ) ) .

y x = e - 2 x ( c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x )

Passo 2

Aplicando as condições iniciais y 0 = 1 ,   y π = - e - 2 π

y 0 = e - 2.0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 = 1

c 1 = 1

y π = e - 2 π c 1 cos ⁡ π + c 2 s e n ( π = - 1

- e - 2 π c 1 = - e - 2 π

c 1 = 1

Logo as condições iniciais não nos permitimos calcular c 2 assim a solução geral fica:

y x = e - 2 x ( cos ⁡ x + c 2 s e n x )

Resposta

y x = e - 2 x ( cos ⁡ x + c 2 s e n x )

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