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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.Revisão - Ex. 16

Resolva o problema de contorno, se possível.

y^(´ ´) + 4 y^´ + 29 y = 0 y (0) = 1 , y (pi) = - e^(- 2 pi)

Passo 1

Primeiramente solucionamos a equação característica que nós da r^2 + 4 r + 29 = 0

Dando r_1 = - 2 + 5 i e r_2 = - 2 - 5 i onde i^2 = - 1 .

A solução geral ficará y ( x ) = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x) = c_1 e^(( - 2 + 5 i ) x ) + c_2 e^(( - 2 - 5 i ) x )

y (x) = e^(- 2 x) ( c_1 e^(5 i x) + c_2 e^(- 5 i x) )

Utilizando a identidade de Euler( e^(i x) = cos (x) + i s e n ( x ) ) .

y (x) = e^(- 2 x) ( c_1 cos (x) + c_2 s e n (x) )

Passo 2

Aplicando as condições iniciais y (0) = 1 , y (pi) = - e^(- 2 pi)

y (0) = e^(- 2.0) (c_1 cos (0) + c_2 s e n (0)) = 1

c_1 = 1

y (pi) = e^(- 2 pi) (c_1 cos (pi) + c_2 s e n ( pi) = - 1

- e^(- 2 pi) c_1 = - e^(- 2 pi)

c_1 = 1

Logo as condições iniciais não nos permitimos calcular c_2 assim a solução geral fica:

y (x) = e^(- 2 x) ( cos (x) + c_2 s e n (x) )

Resposta

y (x) = e^(- 2 x) ( cos (x) + c_2 s e n (x) )

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Tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 43. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada.
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