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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 43c

Neste problema vamos determinar condições sobre p e q de modo que a Eq. (i) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança de variável independente. Seja x=u(t) a nova variável independente, com a relação entre x e t a ser especificada mais tarde. Para que a Eq. (iv) tenha coeficientes constantes, é preciso que os coeficientes de d²y/dx² e de y sejam proporcionais. Se q(t) > 0, então podemos escolher a constante de proporcionalidade como 1; logo,

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para provarmos essa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar qual a Eq. (i).

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Como o enunciado nos pede para usar a mudança de variável x= u(t), agora é só substituir.

d y d t = d y d x d x d t

Agora é só aplicar a derivada segunda e achar a relação!!

d 2 y d t 2 = d d t d y d t

d 2 y d t 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d t 2 = d d t d y d x d x d t

d 2 y d t 2 = d x d t d d t d y d x d x d t + d y d x d 2 x d t 2

d 2 y d t 2 = d 2 y d x 2 d x d t 2 + d y d x d 2 x d t 2    

d 2 y d x 2 d x d t 2 + d y d x d 2 x d t 2 + p t d y d x d x d t + q t y = 0    

d 2 y d x 2 d x d t 2 + d 2 x d t 2 + p t d x d t d y d x + q t y = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só aplicar a proporção!!

d x d t 2 ∝ q ( t )

d x d t 2 = k q ( t )

d x d t = ± k q t 1 2

d 2 x d t 2 =   ± k q ' t 2 k q t 1 2

d 2 y d x 2 ± k q ' t + 2 p t k q t 2 k q t 3 2 d y d x + 1 k y = 0

x t =   ± ∫ k q s 1 2 d s  

Resposta

x t =   ± ∫ k q s 1 2 d s  

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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - 2 y ' + 5 y = sen ⁡ x , y 0 = 1 , y ' 0 = 1
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + y ' - 2 y = x + sen ⁡ 2 x , y 0 = 1 , y ' 0 = 0
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - y = x e 2 x , y 0 = 0 , y ' 0 = 1
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 3 y ' + 2 y = e x + sen ⁡ x
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 3 y ' - 4 y = x 3 + x e x