Resolva o problema do Exercício 15 se for um quadrado por .

A gente sabe que o quadrado tem o vértice na reta . Então a gente pode dizer que o vértice dele está no ponto:

Mas repara que esse ponto só pode estar dentro do retângulo. Isso significa que esse não vai ser todos os reais, mas só os valores de para quais a reta está dentro desse retângulo.

Pela localização do nosso retângulo, vemos que está entre as retas:

Substituindo esses valores de em , e isolando , achamos:

Por isso, podemos dizer que nosso está entre esses valores. Reescrevendo nosso vértice:

Vamos olhar uma figura nova:

Queremos a área do retângulo menor, que podemos escrever como:

Mas quem é e ?

Olhando para figura, vemos que é um valor que está entre e a coordenada do ponto , que vale . Podemos dizer então:

E repara é o comprimento do lado do quadrado, que pelo enunciado vale . Então:

Reescrevendo a área:

Mas não para por aí. E se o nosso quadrado estiver localizado dessa forma:

O que acontece se o vértice dele estiver mais para cima desse jeito? Bem aí o valor de permanece igual, mas se torna o valor entre e a coordenada do ponto , que vale . Então:

E a área fica:

Mas essa área vai valer para valores de onde . Vamos descobrir esses valores:

Então nossa função área fica assim:

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor máximo dela. Como ela é um polinômio, o valor máximo vai acontecer nos extremos ou valores de onde . Esses serão nossos candidatos!

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero. Como ela é definida por partes, precisamos derivar cada parte. Para :

Vemos então que essa derivada não zera, seja qual for o valor de .

Para :

Igualando a zero:

Nossos candidatos são:

Agora a gente sustitui eles na função da área para saber qual resulta no maior valor de :

O que resultou no maior valor foi , e a gente descobriu que a área máxima da região que o enunciado pediu é: