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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 19

Resolva o problema de valor inicial.

4 y^(' ') - 4 y^' + y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = - 1,5

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y^(' ' ) + b y^' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

4 r^2 - 4 r + 1 = 0

Vamos dar uma manipulada nessa equação:

4 r^2 - 4 r + 1 = 0 -> (2 r - 1)^2 = 0 -> r = (1)/(2)

Temos que as raízes são r = (1)/(2) , portanto como existe apenas uma raiz real vamos usar a equação 10 :

y = c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 x e^((1)/(2) x)

Temos agora duas condições para substituir e achar os valors de c_1 e c_2 , mas primeiro vamos derivar y :

y^' = (1)/(2) c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 e^((1)/(2) x) + (1)/(2) c_2 x e^((1)/(2) x)

Passo 2

Pronto, vamos agora substituir:

y (0) = 1 -> c_1 e^((1)/(2) . 0) + c_2 . 0 . e^((1)/(2) . 0) = 1 -> c_1 + c_2 . 0 . e^((1)/(2) . 0) = 1 -> c_1 = 1

y^' (0) = - 1,5 -> (1)/(2) c_1 e^((1)/(2) . 0) + c_2 e^((1)/(2) . 0) + (1)/(2) c_2 . 0 . e^((1)/(2) . 0) = - 1,5 -> (1)/(2) c_1 + c_2 = - 1,5 -> c_2 = - 1,5 - (1)/(2) = - 2

Agora é só substituir de volta:

y = c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 x e^((1)/(2) x) = e^((1)/(2) x) - 2 x e^((1)/(2) x)

Resposta

y = c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 x e^((1)/(2) x) = e^((1)/(2) x) - 2 x e^((1)/(2) x)

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Resolva a equação (overset(˙)(y) = (d y)/(d t) e overset(¨)(y) = (d^2 y)/(d t^2)) j ) (d^2 y)/(d t^2) + (d y)/(d t) + 3 y = 0
Resolva a equação n ) overset(¨)(y) + 4 y = 0
Resolva a equação r ) overset(¨)(y) - 2 overset(˙)(y) + 6 y = 0
Determine a solução:a ) overset(¨)(x) + 4 x = 0 , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 1