Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) + 4 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 4) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + 4) = 0 -> lambda^2 + 4 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 0 e c = 4
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (4)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 16))/(2)
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i^2 = - 1
:
+- (sqrt(16 i^2))/(2) = +- (sqrt(( 4 i )^2))/(2) = +- (4)/(2) i = +- 2 i
Passo 3
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 e lambda_2
são números complexos podemos afirmar que:
x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)
Lembrando que:
lambda = alpha +- beta i
Para o nosso caso:
alpha = 0 e beta = 2
Assim, substituindo os valores de
alpha e beta
:
x (t) = e^(0 t) [A cos 2 t + B sin 2 t] = A cos 2 t + B sin 2 t
Passo 4
Agora que temos
x (t)
podemos achar os valores de
A e B
usando
x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 )
.
Para isso precisamos achar o
overset(˙)(x) (t)
.
overset(˙)(x) (t) = (d ( x (t) ))/(d t) = (d (A cos 2 t + B sin 2 t))/(d t) = [- 2 A sin 2 t + 2 B cos 2 t]
Passo 5
Substituindo o
0
em
x (t) e overset(˙)(x) ( t )
, teremos:
x (0) = 0 = A cos 2 ( 0 ) + B sin 2 ( 0 ) = A xx 1 + B xx 0 = A -> A = 0
overset(˙)(x) (0) = 1 = [- 2 A sin 2 ( 0 ) + 2 B cos 2 ( 0 )] = - 2 A xx 0 + 2 B xx 1 = 2 B -> 2 B = 1 -> B = (1)/(2)
Substituindo em
x (t) :
x (t) = 0 cos 2 t + (1)/(2) sin 2 t = (1)/(2) sin 2 t