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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2a

Determine a solução:

a ) overset(¨)(x) + 4 x = 0 , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 1

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 4 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 4) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 4) = 0 -> lambda^2 + 4 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = 4 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (4)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 16))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

+- (sqrt(16 i^2))/(2) = +- (sqrt(( 4 i )^2))/(2) = +- (4)/(2) i = +- 2 i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = 2

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(0 t) [A cos 2 t + B sin 2 t] = A cos 2 t + B sin 2 t

Passo 4

Agora que temos x (t) podemos achar os valores de A e B usando x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o overset(˙)(x) (t) .

overset(˙)(x) (t) = (d ( x (t) ))/(d t) = (d (A cos 2 t + B sin 2 t))/(d t) = [- 2 A sin 2 t + 2 B cos 2 t]

Passo 5

Substituindo o 0 em x (t) e overset(˙)(x) ( t ) , teremos:

x (0) = 0 = A cos 2 ( 0 ) + B sin 2 ( 0 ) = A xx 1 + B xx 0 = A -> A = 0

overset(˙)(x) (0) = 1 = [- 2 A sin 2 ( 0 ) + 2 B cos 2 ( 0 )] = - 2 A xx 0 + 2 B xx 1 = 2 B -> 2 B = 1 -> B = (1)/(2)

Substituindo em x (t) :

x (t) = 0 cos 2 t + (1)/(2) sin 2 t = (1)/(2) sin 2 t

Resposta

x (t) = (1)/(2) sin 2 t

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