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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 21

Resolva os problemas de valor inicial.

y^(' ') - 6 y^' + 10 y = 0 , y (0) = 2 , y^' (0) = 3

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r^2 - 6 r + 10 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (6 + sqrt(36 - 4 (1) (10)))/(2) = (6 + 2 i)/(2) = 3 + i

r_1 = (6 - sqrt(36 - 4 (1) (10)))/(2) = (6 - 2 i)/(2) = 3 - i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e^(3 x) ( C_1 cos x + C_2 sen x )

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 2 :

2 = e^0 ( C_1 cos 0 + C_2 sen 0 )

C_1 = 2

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y^' = 3 e^(3 x) (C_1 cos x + C_2 sen x) + e^(3 x) ( - C_1 sen x + C_2 cos x )

Aplicando o valor y^' (0) = 3 :

3 = 3 e^0 ( 2 cos 0 + C_2 sen 0 ) + e^0 ( - 2 sen 0 + C_2 cos 0 )

3 = 3 (2) + C_2

C_2 = - 3

Assim, a solução final é igual a:

y = e^(3 x) ( 2 cos x - 3 sen x )

Resposta

A solução final da equação é:

y = e^(3 x) ( 2 cos x - 3 sen x )

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