Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e superfície .

é parte do paraboloide que está acima do plano , orientado para cima.

Inicialmente, vamos calcular a integral de linha:

Nossa linha será a fronteira da superfície dada no enunciado:

parte do paraboloide

que está acima do plano

Vamos entender a interseção do paraboloide e do plano, fazendo na equação do paraboloide:

Ficamos com:

Então, essa é nossa curva . Então precisamos achar , onde cada componente é uma parametrização das variáveis , e :

Como nosso raio é , então:

Para a parametrização de um círculo, a variação do parâmetro é:

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e

Derivando esse vetor

em relação a , temos:

Escrevendo o campo vetorial:

Em função das equações parametrizadas

Substituindo os valores de no campo vetorial, temos:

Aplicando a equação:

Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:

Vamos calcular essa integral!

Usando as identidades trigonométricas:

E:

Reescrevemos:

Usando a identidade:

Substituímos mais uma vez:

Somando os termos:

Podemos então finalmente integrar

Resolvendo as integrais:

Aplicando os limites de integração:

Agora vamos calcular a integral dupla:

Se

temos que:

Dado que

Então, nossos termos são:

Portanto, vamos achar as derivadas desses termos para colocarmos na equação do rotacional:

• • Derivada em :
  • Derivada em :
• • Derivada em :
  • Derivada em :
• • Derivada em :
  • Derivada em :

Substituindo na equação:

Para calcular nossa integral dupla do rotacional, podemos usar a seguinte equação, onde:

E Onde

Então, aqui temos que , e são as componentes do rotacional!

No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de :

Assim,

Fazendo a soma dos termos:

Substituindo

Temos finalmente:

Veja que precisamos dos limites de integração:

A região é a projeção a superfície no plano , com . Fazemos na equação do paraboloide:

No nosso caso, é a região dentro da circunferência

Como temos uma circunferência completa na origem com raio , nossos limites são:

Substituindo os limites de integração e as transformações:

Então, para nossa integral inicial:

Em coordenadas polares, temos:

Agora é só resolvermos:

Integrando por dentro em , tratando como constante:

Aplicando os limites de integração:

Substituindo a identidade:

Ficamos com:

Distribuindo o termo para dentro dos parênteses:

Podemos finalmente integrar em e aplicar os limites de integra�o:

Ou seja:

Lembra do resultado da integral de linha?

Como:

Assim, o teorema de Stokes é verificado (finamente, né?)!