Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 6
Use o Teorema de Stokes para calcular
é metade do elipsoide está à direita do plano , orientado na direção positiva do eixo .
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem?
Devemos usar o teorema de Stokes e calcular a integral para:
Onde,
é metade do elipsoide está à direita do plano , orientado na direção positiva do eixo .
Muita calma agora, vamos pensar juntos!
Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.
A fronteira aqui é definida pela intercessão do paraboloide com o plano , que resulta no círculo:
Já conhecemos uma parametrização para um círculo em coordenadas polares. Temos:
Como estamos no pano , o valor de é zero
Parametrizando a circunferência, temos:
Observe que chamamos o ângulo de , só para facilitar a escrita.
Agora, podemos achar o , fazendo a derivada de em relação . Desse jeito:
Reescrevendo, temos:
O campo vetorial pode ser reescrito como , ficando assim:
Agora é so substituir na integral pessoal! Fazer o produto escalar e resolver!
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar relembrando o que achamos no passo .
Vimos que o teorema de Stokes é escrito como:
Achamos também uma parametrização para a curva :
E achamos o valor de , fazendo a derivada de em relação a . Assim:
Reescrevendo, temos:
E por fim, vimos que o campo vetorial pode ser reescrito como , ficando assim:
Aplicando no Teorema de Stokes, temos:
Passo 3
Fazendo o produto escalar, vamos ficar com:
Vamos resolver essa integral pela substituição de variável.
Seja
Além disso, os limites de integração vão mudar de para a . Como assim?
Veja que é só aplicar os valores de , na expressão:
Assim, ficamos com a seguinte integral:
Integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração, chegamos a seguinte conclusão:
Logo, concluímos que aplicando o teorema de Stokes vamos ter: