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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 73

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 71-76.

d s d t = 8 sin 2 ⁡ t + π 12 ,   s 0 = 8  

Passo 1

Vamos começar passando pro outro lado o d t :

∫ d s = ∫ 8 sin 2 ⁡ t + π 12 d t

Lembrando das relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Assim,

s = ∫ 8 1 - cos 2 ⁡ t + π 12 d t

Separando em dois termos:

s = 8 ∫ d t - 8 ∫ cos 2 ⁡ t + π 12 d t

Passo 2

Lembrando de outras relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Logo,

s = 8 t - 8 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t + π 12 2 d t

Separando em dois termos:

s = 8 t - 8 2 ∫ d t - 8 2 ∫ cos ⁡ 2 t + π 6 d t

Passo 3

Vamos resolver a integral agora:

s = 8 t - 4 t - 4 ∫ cos ⁡ 2 t + π 6 d t = 4 t - 4 sin ⁡ t + π 12 2 t + π 6 '

s = 4 t - 4 sin ⁡ 2 t + π 6 2 + 0 = 4 t - 2 sin ⁡ 2 t + π 6 + C

Passo 4

Substituindo o ponto dado na função:

s 0 = 8 = 4 ∙ 0 - 2 sin ⁡ 2 ∙ 0 + π 6 + C

C = 8 + 2 sin ⁡ π 6

C = 8 + 2 1 2 = 9

Fim!!!

Resposta

s = 4 t - 2 sin ⁡ 2 t + π 6 + 9

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