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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 24

13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

24. ∫ 1 2 1 1 2 x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 1 2 1 1 2 x d x

Podemos reescreve-la assim ó:

1 2 ∫ 1 2 1 1 x d x

A princípio todo mundo pensa em resolver essa integral utilizando a regra:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Mas essa regra só vale para expoentes diferentes de - 1 , porque quando o expoente é exatamente - 1 o resultado da integral é ln ⁡ x , se liga:

1 2 ∫ 1 2 1 1 x d x = 1 2 ln ⁡ x 1 1 2

Passo 3

Por fim, aplicando o TFC no resultado que encontramos, teremos:

1 2 ln ⁡ x 1 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ 2

∴ ∫ 1 2 1 1 2 x d x = 1 2 ln ⁡ 2

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 1 2 1 1 2 x d x = 1 2 ln ⁡ 2

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