13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

20. ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Qual função que quando é derivada resulta em sec 2 ⁡ θ ? De acordo com o que estudamos, esse resultado é:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ π 4 0

Utilizando o TFC, teremos:

tan ⁡ θ π 4 0 = tan ⁡ π 4 - tan ⁡ 0

∴ ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ = 1

E esse é o nosso resultado, guys! ;)

Resposta

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ = 1

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