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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 76

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 71-76.

d 2 y d x 2 = 4 sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x ,   y ' 0 = 4 ,   y 0 = - 1  

Passo 1

Vamos começar passando pro outro lado o d x :

∫ d d y d x = ∫ 4 sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x

y ' = 4 ∫ sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x

Definindo uma mudança de variável:

u = tan ⁡ 2 x

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ 2 x 2 x ' d x = 2 sec 2 ⁡ 2 x d x

d u 2 = sec 2 ⁡ 2 x d x

Passo 2

Substituindo na integral:

y ' = 4 ∫ sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ 2 x d x = 4 ∫ u d u 2 = 2 ∫ u d u

Calculando a integral:

y ' = 2 ∫ u d u = 2 u 2 2 + C = u 2 + C

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

u 2 + C = tan 2 ⁡ 2 x + C

Substituindo o ponto dado na função:

y ' 0 = 4 = tan 2 ⁡ 2 ∙ 0 + C

C = 4 - tan 2 ⁡ 0 = 4

Passo 3

Agora vamos passar de novo pro outro lado o d x :

∫ d y = ∫ tan 2 ⁡ 2 x + 4 d x

Separando os dois termos:

y = ∫ tan 2 ⁡ 2 x d x + 4 ∫ d x

Lembrando das relações trigonométricas:

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Assim,

y = ∫ sec 2 ⁡ 2 x - 1 d x + 4 ∫ d x

Passo 4

Separando os termos:

y = ∫ sec 2 ⁡ 2 x d x - ∫ d x + 4 ∫ d x

Em seguida, calculamos a integral:

y = ∫ sec 2 ⁡ 2 x d x - ∫ d x + 4 ∫ d x = tan ⁡ 2 x 2 x ' - x + 4 x + K

y = tan ⁡ 2 x 2 + 3 x + K

Substituindo o ponto dado na função:

y 0 = - 1 = tan ⁡ 2 ∙ 0 2 + 3 ∙ 0 + K

K = - 1 - tan ⁡ 0 2 = - 1

Fim!!!

Resposta

y = tan ⁡ 2 x 2 + 3 x - 1

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