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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 22b

Resolva o seguinte problema de valor inicial para u como uma função de t:

d u d t + k m u = 0   S e n d o   k   e   m   c o n s t a n t e s   p o s i t i v a s       u 0 = u 0

b. como uma equação separável.

Passo 1

Temos na equação um formato que também podemos resolver pelo método de separação de variáveis. Então primeiro vamos pôr a equação em termos separáveis:

d u d t + k m u = 0   ⇒ d u d t = - k m u  

d u u = - k m d t  

Passo 2

Podemos agora integrar em ambos os lados. Assim:

∫ d u u = - ∫ k m d t  

l n   u = - k m t + c

u = e - k m t + c = e - k m t ⋅ e c

u = e - k m t ⋅ e c

Passo 3

Aplicando as condições de contorno, u ( 0 ) = u 0 , temos que:

u 0 = e - k m 0 ⋅ e c = A = u 0

onde A é uma constante.

Resposta

u = u 0 e - k m t

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