A reta tangente à curva x y - x 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 , intercepta o eixo y no ponto B . Mostre que a área do triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e B não depende de x 0 , y 0 .

Enunciado

Primeiramente devemos encontrar a reta tangente. Então podemos usar a fórmula:

Onde .

Para achar , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a , para isso, devemos lembrar que a derivada de é , assim:

Derivando,

Isolando

Lembrando que

Assim, no ponto , temos .

Retomando a fórmula , temos:

Vamos ajeitar a equação, passando o do denominador para o outro lado multiplicando,

Agora vamos fazer a distributiva do produto do lado esquerdo,

Ajeitando,

Colocando em evidência no lador direito e no lado esquerdo,

Se pertence à curva , então , e portanto, a equação da reta tangente será dada por:

A reta intercepta o eixo no ponto , dentão devemos achar esse ponto:

Para a interseção com o eixo temos :

Então, temos o triângulo de vértices , e , e sua área pode ser calculada por:

Logo, para qualquer a área é e, portanto, provamos que a área do triângulo não depende de .

Ei, a resposta está no passo a passo :)