Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.13 - Ex. 10
A reta tangente à curva no ponto , , intercepta o eixo no ponto . Mostre que a área do triângulo de vértices , e não depende de .
Passo 1
Primeiramente devemos encontrar a reta tangente. Então podemos usar a fórmula:
Onde .
Para achar , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a , para isso, devemos lembrar que a derivada de é , assim:
Derivando,
Isolando
Lembrando que
Assim, no ponto , temos .
Passo 2
Retomando a fórmula , temos:
Vamos ajeitar a equação, passando o do denominador para o outro lado multiplicando,
Agora vamos fazer a distributiva do produto do lado esquerdo,
Ajeitando,
Colocando em evidência no lador direito e no lado esquerdo,
Se pertence à curva , então , e portanto, a equação da reta tangente será dada por:
Passo 3
A reta intercepta o eixo no ponto , dentão devemos achar esse ponto:
Para a interseção com o eixo temos :
Passo 4
Então, temos o triângulo de vértices , e , e sua área pode ser calculada por:
Logo, para qualquer a área é e, portanto, provamos que a área do triângulo não depende de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)