Verifique que y 0 x + x 0 y = 2 é a equação da reta tangente à curva x y = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 . Conclua que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B são interseções da reta tangente, em x 0 , y 0 , com os eixos coordenados.

Enunciado

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

Onde :

Para , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a , para isso, devemos lembrar que a derivada de é , assim:

Pela regra do produto:

Assim, no ponto , temos , de modo que se , temos .

Retomando a fórmula , temos:

Se :

Logo, provamos que a reta tangente em é dada por .

Para concluir que que é o ponto médio do segmento , em que e são interseções da reta tangente, em , com os eixos coordenados, devemos encontrar e :

Vamos supor a interseção com o eixo (, então:

Agora para a interseção com o eixo (:

Vamos chamar o ponto médio entre e de , então, vamos calcular e :

(pois, se

Então:

Logo, concluímos que é o ponto médio do segmento .

Ei, a resposta está no passo a passo :)