Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.13 - Ex. 7
Verifique que é a equação da reta tangente à curva no ponto , . Conclua que é o ponto médio do segmento , em que e são interseções da reta tangente, em , com os eixos coordenados.
Passo 1
Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:
Onde :
Para , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a , para isso, devemos lembrar que a derivada de é , assim:
Pela regra do produto:
Passo 2
Assim, no ponto , temos , de modo que se , temos .
Retomando a fórmula , temos:
Se :
Logo, provamos que a reta tangente em é dada por .
Passo 3
Para concluir que que é o ponto médio do segmento , em que e são interseções da reta tangente, em , com os eixos coordenados, devemos encontrar e :
Vamos supor a interseção com o eixo (, então:
Agora para a interseção com o eixo (:
Vamos chamar o ponto médio entre e de , então, vamos calcular e :
(pois, se
E
(pois, se
Então:
Logo, concluímos que é o ponto médio do segmento .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)