Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 18B
Se a reta tangente a em passar pelo ponto, encontre e .
Passo 1
Olá, meu amigo. Dando continuidade ao assunto de retas tangentes, temos aqui um novo problema a ser resolvido.
Tem um conceito chave MUITO IMPORTANTE que eu vou te lembrar agora. Se liga!
Quando uma reta é tangente a uma curva num ponto, o seu coeficiente angular é igual à derivada da função neste ponto.
No caso da reta tangente a no ponto , seu coeficiente angular é igual a:
E sendo uma reta, sua equação tem forma:
E pra definir a equação da reta, basta usarmos 2 pontos pelos quais ela passa. E olha que sorte! Nós temos 2 pontos da reta tangente:
Vamos então substituir esses pontos na equação geral e achar os coeficientes da reta.
Passo 2
Se a reta tangente passa pelos ponto e então, podemos montar um sistema com esses valores:
Então,
Substituindo na primeira equação,
Ficamos com,
Então, temos que a equação da reta tangente é
Agora vamos ao que o enunciado nos pede!
Passo 3
Queremos achar:
O primeiro na verdade já dado pelo enunciado, nem precisávamos fazer nada disso até aqui.
O ponto de tangência é o ponto comum entre a reta e a curva, então ele é um dos pontos da curva.
E esse ponto é justamente onde . Então se a curva passa por , então:
Passo 4
Pra acabar, queremos definir:
Mas como falei no passo, a derivada de uma curva num ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente:
E nós já achamos lá no passo 2:
Sendo assim:
Ufa! Acabamos! Entendeu tudinho?