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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 9

Nos exercícios de 7 a 12, ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ( x 1 , y 1 ) . Faça uma tabela de valores de x, y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico.

9)   y = 4 - x

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 4 - x , temos:

f x 1 + ∆ x = 4 - x 1 + ∆ x e

f x 1 = 4 - x 1

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 4 - x 1 + ∆ x - 4 - x 1 ∆ x

Multiplicando numerador e denominador por 4 - x 1 + ∆ x + 4 - x 1 :

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ - ∆ x ∆ x . 4 - x 1 + ∆ x + 4 - x 1

Simplificando:

m x 1 = - 1 2 4 - x 1

Passo 2

Agora apresentaremos uma tabela com alguns valores de x, y e m no intervalo [ - 10,4 [

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico:

Resposta

Inclinação da reta tangente: m x 1 = - 2 x 1 - 6

Tabela de valores de x, y e m:

Gráfico:

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5- Determine uma reta que seja paralela a x + y = 1 e que seja tangente à curva x 2 + x y + y 2 = 3 .
6- Determine uma reta que seja tangente à elipse x 2 + 2 y 2 = 9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9 4 .
7- Mostre que a reta x x 0 + y y 0 = 2 é tangente à curva ( x x 0 ) 3 + ( y y 0 ) 3 = 2 no ponto ( x 0 , y 0 ) .
8- Determine uma reta paralela à reta x + y = 1 e tangente à curva x 3 + x y + y 3 = 0 em um ponto ( x 0 , y 0 ) , com x 00 e y 00 .
Ache uma equação da reta tangente à curva y = e - x que é perpendicular à reta 2 x - y = 5 .