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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 79

Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função

u x , t = f x + a t + g x - a t

é solução da equação de onda dada no exercício 74.

Passo 1

Oieee, vamos resolver uma atividade juntos hoje?

Temos a função:

u x , t = f x + a t + g x - a t

E queremos provar que a relação da questão 74 é válida.

Show de bola, galera. Vamos primeiro escrever a equação de onda da questão 74 aqui:

u t t = a 2 u x x

Beleza...Para provarmos que a função u x , t é solução da equação diferencial proposta, precisaremos calcular primeiro as derivadas parciais de 2 ª ordem u t t ,     u x x . Partiu?

Veja que por aqui teremos que utilizar a regra da cadeia, pois temos funções dentro de funções aqui.

Passo 2

Derivando primeiro em relação a t :

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t f x + a t + g x - a t = f ' ∙ a ⏟ R e g r a   d a   c a d e i a   + g ' ∙ - a ⏟       R e g r a   d a   c a d e i a  

Agora vamos derivar de novo em relação a t :

u t t = ∂ u t ∂ t = ∂ ∂ t a f ' - a g '

u t t = a a f ' ' - a - a g ' '

u t t = a 2 f ' ' + g ' '

Show de bola...Vamos continuar com as continhas...

Vamos derivar em relação a x :

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x f x + a t + g x - a t

u x = f ' + g '

Vamos novamente derivar em relação a x :

u x x = ∂ u x ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ g ∂ x = f ' ' + g ' '

Tranquilo!!! Acabou....Agora vamos colocar essas expressões na equação de onda.

Beleza? Então partiu....

u t t = a 2 u x x ⏟ ? ? ?  

a 2 f ' ' + g ' ' ⏞ u t t = a 2 f ' ' + g ' ' ⏞ u x x ⏟ E s t á   c e r t i n h o ‼ !  

Opa! Chegamos à conclusão do que o enunciado nos pediu! Acabmos de ver que u x , t = f x + a t + g x - a t é solução da equação u t t = a 2 u x x .

Resposta

Ver a resolução.

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