Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 56
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis:
Queremos determinar as derivadas parciais de segunda ordem.
Para isso, primeiramente precisamos encontrar a derivada de primeira ordem... mas como??
Para isso, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.
Assim, teremos as derivadas de primeira ordem com relação a e :
Mas nessa questão, teremos de calcular derivadas parciais de segunda ordem. O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.
Com isso, vamos derivar em relação a e a as derivadas de primeira ordem. Assim, teremos:
Agora bora lá!! 😉
Aaaah, lembre-se que:
Passo 2
Primeiramente vamos derivar com relação a .
Para isso, vamos fazer a Regra do Quociente, onde:
Com isso, temos:
Aplicando a derivada da potência, temos:
Reorganizando, obtemos:
Agora vamos fazer o mesmo para !!
Passo 3
Agora vamos derivar em relação a de forma análoga ao passo anterior, ou seja, utilizando a regra do quociente também.
Com isso, temos:
Aplicando a derivada da potência, temos:
Reorganizando, obtemos:
Passo 4
Agora vamos fazer a derivada . Para isso, vamos derivar com relação a .
Primeiro vamos retirar a constante para fora da derivada:
Podemos reorganizar da seguinte forma:
Aplicando a Regra da Cadeia, obtemos:
Derivando e reorganizando, obtemos:
Passo 5
Agora vamos fazer a derivada . Para isso, vamos derivar com relação a .
Primeiro vamos retirar a constante para fora da derivada:
Podemos reorganizar da seguinte forma:
Aplicando a Regra da Cadeia, obtemos:
Derivando e reorganizando, obtemos:
Passo 6
Agora vamos calcular (que vai ser a mesma coisa de ).
Assim, derivando com relação a , utilizando a regra do quociente, obtemos:
Resolvendo a primeira derivada pela regra da potência e a segunda derivada pela regra da cadeia, obtemos:
Reorganizando os termos, obtemos: