Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 30
Se , encontre .
Passo 1
Oiee, bora lá
O enunciado pede para encontrar a segunda derivada da função e avaliá-la em
A segunda derivada de uma função é uma medida da taxa de variação da taxa de variação, ou seja, é uma medida da concavidade da curva.
Avaliar a segunda derivada em um ponto específico nos dará informações sobre a concavidade da curva nesse ponto.
No caso desta função, , a primeira derivada já foi encontrada anteriormente e agora precisamos encontrar sua segunda derivada.
Em seguida, vamos avaliar essa segunda derivada em para descobrir como a concavidade da curva está se comportando nesse ponto.
A regra do quociente é uma regra de diferenciação que nos permite encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções. Matematicamente, se temos uma função definida como onde são funções diferenciáveis, então a derivada de em relação a é dada pela seguinte fórmula:
A intuição por trás da regra do quociente é semelhante à da regra do produto. Ao diferenciar uma função que é o quociente de duas outras funções, devemos considerar como a variação de uma função afeta a outra. A regra do quociente nos permite fazer isso de forma sistemática, evitando a necessidade de usar a definição de derivada diretamente.
Passo 2
Para derivarmos vamos, primeiramente, reescrever a equação de forma mais simples:
Agora, para derivarmos, podemos aplicar a regra do quociente:
Passo 3
Para derivarmos para obter podemos aplicar a regra do produto, mas para isso precisamos das derivadas da tangente e da secante:
- A derivada da tangente pode ser obtida pela regra do quociente da seguinte forma:
- A derivara da secante é a derivada calculada no início do exercício, ou seja:
Passo 4
Então, é dada por:
Portando, o valor de é dado por:
Resposta
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