Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 64
- Se for derivável, a Regra do Recíproco diz que:
Use a Regra do quociente para demonstrar a regra do recíproco.
- Use a Regrado Recíproco para derivar a função do Exercício 16.
- Use a Regra do Recíproco para verificar que a Regra da Potência é válida para os inteiros negativos, isto é,
Use a Regra do quociente para demonstrar a regra do recíproco.
Para todo inteiro positivo .
Passo 1
Olá, meu caro amigo, estarei te ajudando a resolver mais uma atividade no dia de hoje. A gente quer provar que:
Utilizando a regra do quociente.
A regra do quociente, utilizada quando temos que derivar uma divisão, é dada por:
Após isso, iremos resolver o exercício 16 com essa regra, iremos falar mais sobre ele depois, e ainda iremos realizar outra prova.
Deveremos provar que:
Utilizando a regra da reciprocidade.
Passo 2
- O enunciado diz que se for derivável, então pela Regra Recíproca teremos que:
- Queremos derivar a função do exercício 18 que é
- Queremos verificar a veracidade da Regra de Derivação de uma Potência, para expoentes inteiros negativos, usando a Regra Recíproca.
Queremos provar isso usando a Regra da Derivada do Quociente, pois a função a ser derivada é o quociente .
Então, temos que
que é o mesmo que escrever
será dada pela Regra do Quociente assim:
Aplicando:
Temos então.
que é o esperado.
Passo 3
usando a Regra Recíproca. Vale ressaltar que é uma constante e a nossa variável é .
Então, usando a Regra Recíproca temos que:
Onde
e assim temos:
que é igual ao resultado do exercício 18. Observe que essa regra só vale quando o numerador for igual a 1.
Passo 4
A Regra da Potência diz que
sendo um inteiro positivo (caso da potência com expoente inteiro negativo).
Então, pela Regra Recíproca temos que:
sendo e assim temos:
Aplicando a regra:
Simplificando o quociente:
Simplificando os termos e finalmente provando:
como era de se esperar.
Observe mais uma vez que a Regra Recíproca só é válida para funções racionais com numerador igual a 1.
Resposta
Ver o desenvolvimento.