Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 58
Um fabricante produz peças de tecido com tamanho fixo. A quantidade de cada peça de tecido vendida (medida em metros) é uma função do preço (em dólares por metro); logo, podemos escrever . Então, a receita total conseguida com o preço de venda é .
(a) O que significa dizer que e ?
(b) Tomando os valores da parte (a), encontre e interprete sua resposta.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos disse que um fabricante produz peças de tecido e vende uma determinada quantidade de tecido em função do preço , o que nos dá a relação:
Aí ele nos diz que a receita total conseguida com o preço de venda é:
Então, a receita depende da quantidade de tecido vendida, que depende do preço .
Beleza, aí nós precisamos interpretar essa situação pra descobrir o que significa e , e depois calcular usando esses valores.
Vamos lá!
Passo 2
Sabemos que , isto é, a quantidade de material para a fabricação de tecidos é uma função do preço de venda, então é a quantidade de tecido quando o preço de venda é de .
Agora, calculando , teremos a taxa de variação da quantidade de material usado para fabricação dos tecidos.
Se for positiva, significa que a quantidade de material está sendo aumentada, do contrário, se for negativa, a quantidade estaria sendo diminuída.
Então, significa que a quantidade de material empregado na fabricação dos tecidos está diminuindo a uma taxa de metros quando o preço de venda é de .
Passo 3
Agora vamos determinar o valor de , e descobrir o seu significado, usando os valores do item (a).
Primeiro vamos derivar a função em relação a que é nossa variável. Como , precisamos usar a Regra do Produto na derivação (). Dessa forma, temos:
Como e , vamos substituir na equação:
E obtemos:
Observe que é a taxa de variação da renda, então significa que a taxa de variação da renda está crescendo a uma taxa de , quando o preço de venda é de .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉