Encontre os pontos sobre a curva y = (cos(x)) / (2 + sen(x)) na qual a tangente é horizontal.

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema queremos obter os pontos sobre a curva

y = cos ⁡ x 2 + sen ⁡ x

Que possuem tangetes horizontais.

Tem ideia de como fazemos isso?

Uma reta horizontal, é uma reta cuja inclinação é nula, ou seja, o coeficiente angular é zero. Como a derivada de uma função em um ponto nos dá justamente o coeficiente angular da reta tangente à função nesse ponto, então devemos procurar os valores de x em que y ' = 0 ;

Veja só!

Passo 2

Derivando a função pela regra do quociente, temos:

y = f x g x → y ' = f ' x ⋅ g x - f x ⋅ g ' x g x 2

Se f x = cos ⁡ x e g x = 2 + sen ⁡ x

y ' = - sen ⁡ x 2 + sen ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x 2 + sen ⁡ x 2

y ' = - 2 sen ⁡ x - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 + sen ⁡ x 2

Simplificando...

y ' = - 2 sen ⁡ x - ( sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x ) 2 + sen ⁡ x 2

y ' = - 2 sen ⁡ x - 1 2 + sen ⁡ x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para y ' = 0 temos:

- 2 sen ⁡ x - 1 2 + sen ⁡ x 2 = 0

- 2 sen ⁡ x - 1 2 + sen ⁡ x 2 2 + sen ⁡ x 2 = 0 2 + sen ⁡ x 2

- 2 sen ⁡ x - 1 = 0

sen ⁡ x = - 1 2

x = 7 π 6 + 2 k π ou x = 11 π 6 + 2 k π

Onde k é um número inteiro.

E aí! Entendeu, né? Responde Aí!

Resposta

Os valores de x   que fazem a reta tangente ser horizontal são   x = 7 π 6 + 2 k π ou x = 11 π 6 + 2 k π

Onde k é um número inteiro.

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