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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 2

Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê?

  1. ∫ 0 π 4 t g   x   d x
  2. ∫ 0 π t g   x   d x  
  3. ∫ - ∞ ∞   x 2 e - x 2 d x
  4. ∫ ∞ ∞ e - x 2 d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado pede pra a gente dizer quais dessas seguintes integrais são imprórias:

  1. ∫ 0 π 4 t g   x   d x
  2. ∫ 0 π t g   x   d x  
  3. ∫ - ∞ ∞   x 2 e - x 2 d x
  4. ∫ ∞ ∞ e - x 2 d x

Pra a gente responder isso temos que ter em mente que existem dois tipos de integrais impróprias, do tipo 1 , quando temos um limite de integração no infinito. E do tipo 2, quando temos:

∫ b a f ( x )   d x  

Mas f ( x ) não é contínua entre a ≤ x ≤ b .

Passo 2

Já podemos dizer que:

  1. ∫ - ∞ ∞   x 2 e - x 2 d x
  2. ∫ ∞ ∞ e - x 2 d x

São integrais imprópias do tipo 1 .

Passo 3

Agora sobrou:

  1. ∫ 0 π 4 t g   x   d x
  2. ∫ 0 π t g   x   d x  

Vamos pensar...a tangente de x tem algum ponto de descontinuidade?!

Sabemos que:

t g   x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Então concorda comigo que t g   x não é definida em cos ⁡ x = 0 ?!

Logo:

D f = x ∈ R ; x ≠ π 2 +   k   π ,   c o m   π ∈ Z

Então temos que:

∫ 0 π 4 t g   x   d x → n ã o   é   i m p r ó p r i a

∫ 0 π t g   x   d x →   é   i m p r ó p r i a

Isso porque π 2 não esta dentro do intervalo de integração na letra (a), mas esta na letra (b)!

Prontinho!! Agora vamos só resumir as respostas

  1. Não;
  2. Sim. Pois D f = x ∈ R ; x ≠ π 2 +   k   π ,   c o m   π ∈ Z
  3. Sim, Segundo o tipo 1.
  4. Sim. Segundo o tipo 1.

Resposta

  1. Não
  2. Sim
  3. Sim
  4. Sim
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