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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 17

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

17. ∫ - 2 0 d w w + 1 1 3  

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em -1 (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ - 2 0 d w w + 1 1 3   = lim t → - 1 - ⁡ ∫ - 2 t d w w + 1 1 3   + lim t → - 1 + ⁡ ∫ t 0 d w w + 1 1 3   =

= lim t → - 1 - ⁡ 3 2 w + 1 2 3 - 2 t + lim t → - 1 + ⁡ 3 2 w + 1 2 3 t 0 =

= l i m t → - 1 - 3 2 t + 1 2 3 - 3 2 + l i m t → - 1 + 3 2 - 3 2 t + 1 2 3 = - 3 2 + 3 2 = 0

Logo, a integral dada é convergente.

Resposta

∫ - 2 0 d w w + 1 1 3   = 0

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Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. 2 . ∫ 0 16 d x x 3 4