Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 20

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

20. ∫ 0 ∞ e - x d x x  

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita tanto em 0 e um extremo superior infinito, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 0 ∞ e - x d x x   = ∫ 0 1 e - x d x x   + ∫ 1 ∞ e - x d x x   = lim s → 0 + ⁡ ∫ s 1 e - x d x x   + lim t → + ∞ ⁡ ∫ 1 t e - x d x x   =

= lim s → 0 + ⁡ - 2 e - x s 1 + lim t → + ∞ ⁡ - 2 e - x 1 t = lim s → 0 + ⁡ [ - 2 e - 1 + 2 e - s ] + lim t → + ∞ ⁡ - 2 e - t + 2 e - 1 =

= - 2 e - 1 + 2 - 0 + 2 e - 1 = 2

Logo, a integral dada é convergente.

Resposta

∫ 0 ∞ e - x d x x   = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se f ( x ) é integrável em qualquer intervalo de números reais e a e b sã0 números reais com ab , então Ambas ∫ a ∞f x d x e ∫ - ∞ af x d x convergem, se somente se, ∫ - ∞ bf x d x e ∫ b ∞f
Mostre que se f ( x ) é integrável em qualquer intervalo de números reais e a e b sã0 números reais com ab , então ∫ - ∞ af x d x +∫ a ∞f x d x = ∫ - ∞ bf x d x + ∫ b ∞ f x d x .
∫ 0 ∞x p l n ⁡ ( x ) d x Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .
A integral f x = 1 σ 2 πe - 1 2 x - μ σ 2 é chamada função densidade de probabilidade normal, com média μ e desvio padrão σ e tem aplicações importantes em probabilidade e estatística .Trace o gráfico
∫ 0 ex p l n ⁡ ( x ) d x Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .