Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

21. ∫ 1 2 2 d z   z l n z 1 5

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em 1 e, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 1 2 2 d z   z l n z 1 5 = lim t → 1 - ⁡ ∫ 1 2 t d z   z l n z 1 5 + lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 d z   z l n z 1 5 = lim t → 1 - ⁡ 5 4 l n z 4 5 1 2 t + lim t → 1 + ⁡ 5 4 l n z 4 5 t 2 =

= 5 4 l i m t → 1 - ( l n t 4 5 - ln ⁡ 1 2 4 5 ) + l i m t → 1 + ( l n 2 4 5 - l n t 4 5 ) = 5 4 0 - - l n 2 4 5 + l n 2 4 5 - 0 = 0

Logo, a integral dada é convergente

Resposta

∫ 1 2 2 d z   z l n z 1 5 = 0

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