Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.9 - Ex. 36
Seja a porcentagem de norte-americanos menores de anos no tempo . A tabela dá os valores dessa função nos censos realizados de a .
(a) Qual o significado de ? Quais são suas unidades?
(b) Construa uma tabela de valores para .
(c) Faça os gráficos de e .
(d) Como seria possível obter valores mais precisos para ?
Passo 1
Fala aí, meus amores!
Nessa questão foi dada uma tabelinha com as porcentagens de norte-americanos menores de anos de até . Os valores dados são esses aqui:
O item (a) do enunciado pede pra explicarmos o significado de , a derivada de .
Além disso, o item (b) pede pra usarmos esses valores de e e construir uma tabela pra .
No item (c), precisamos fazer um esboço do gráfico e .
E por fim, no item (d), a questão pergunta como poderíamos obter valores mais precisos para
Para obter as derivadas de valores discretos como nesse caso, podemos simplificar a definição de derivada. Olha só:
Olha só que interessante. Isso significa que podemos aproximar a derivada, calculado a razão das diferenças entre os valores discretos consecutivos que temos na tabela. Vamos ver como fazer isso juntos.
Bora começar! 😉
Passo 2
Em primeiro lugar, vamos atacar o item (a) e tentar entender o significado de .
Pra isso, precisamos lembrar que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. Ou seja, nesse caso o seria a taxa na qual a porcentagem da população norte-americana com idade de até 18 anos está mudando ao longo do tempo.
Uma maneira um pouco mais concreta de enxergar isso é lembrando que se a porcentagem dessa população aumentar, será positivo. Consequentemente, se esse porcentagem diminuir, sera negativo.
Baseado nessa interpretação, a unidade de será %/ano.
Passo 3
O item b) pede pra construirmos uma tabela com valores pra . Vamos relembrar os valores de dados:
Vamos calcular as estimativas dos valores da derivada com a simplificação:
Vamos começar calculando o valor de . Como esse é um dos extremos, só conseguimos usar as informações dos pontos e . Olha só:
Vamos calcular agora para . Agora conseguimos usar o ponto anterior e o seguinte pra calcular as estimativas e usar a média entre os dois. Olha só:
Calculando a média, temos:
Agora só precisamos repetir esse processo pra todos os pontos:
Para :
Calculando a média, temos:
Para :
Calculando a média, temos:
Para :
Calculando a média, temos:
Para , calculamos usando apenas as informações em e :
Com esses valores calculados, conseguimos construir a tabela:
Boa! Conseguimos terminar a tabelinha!
Passo 4
Pra fechar o item c), precisamos traçar os gráficos de e . Como as escalas são bem diferentes, vamos fazer um gráfico pra cada um.
Gráfico de :
Gráfico de :
Só falta mais um item agora!
Passo 5
O item (d) faz uma pergunta bem direta pra gente. Como podemos aumentar a precisão das estimativas pra ?
Vamos olhar só mais uma vez pra definição da derivada:
Percebe que a derivada é representado por um limite em que está tendendo a ? Isso significa que quanto mais conseguirmos deixar de , melhor será a nossa estimativa.
Como representa o intervalo entre os pontos que estamos usando pra nossa estimativa, conseguimos melhorar a nossa precisão obtendo mais medições em pontos intermediários.
Quanto mais pontos tivermos, melhor a nossa estimativa!
Ufa! Conseguimos terminar!
Resposta
a) é a taxa na qual a porcentagem da população norte-americana com até 18 anos de idade está mudando em relação ao tempo. Sua unidade é %/ano.
b)
c)
Gráfico de :
Gráfico de :
d) Conseguimos melhorar a nossa precisão obtendo mais medições em pontos intermediários.